Основная идея Гильберта

В своих исследованиях по общей теории относительности Гильберт соединил теорию гравитации Эйнштейна, с программой по единой теории поля Г. Ми. Работа Гильберта может рассматриваться как предвестник единой теории гравитации и Электромагнетизма. Основания математики Вновь вернуться к математике Гильберта заставил глубокий кризис, возникший в ее основаниях.

Излюбленный Гильбертом аксиоматический подход начал давать сбои.

Первыми предвестниками такого кризиса были парадоксы, открытые в теории множеств. Эти парадоксы были настолько глубокими и затрагивавшими самую суть теории, что среди математиков нашлись те, которые предлагали вообще отказаться от прежнего образа математического мышления. Среди таковых был молодой голландец Брауер.

В трех статьях, вместе не занимавших 17 страниц, Брауер высказал сомнение в том, что законы классической логики имеют абсолютную истинность, не зависящую от того, к чему они применяются, и предложил решительную программу, призванную покончить с «кризисом оснований» . Для Брауера ни язык, ни логика не были неотъемлемо связаны с математикой, в основании которой, по его мнению, лежала интуиция, делавшая ее выводы и понятия непосредственно ясными. Брауер, например, отказался принимать логический принцип исключения третьего, т. е. Что для любого утверждения A существует только две возможности — либо A, либо не A. В частности Брауер не принимал принцип исключения третьего для бесконечных множеств, поскольку не существует никакой реальной процедуры, чтобы проверить утверждение за конечное число шагов. Подход Брауера к принципам математики получил название интуиционизм. Для Гильберта программа интуиционизма представляла абсолютно определенную и реальную угрозу математике. Многие из теорем классической математики можно было установить и интуиционистскими методами, более сложным и длинным путем, чем обычно.

От многого же, включая теоремы существования, основную часть анализа, канторовскую теорию бесконечных множеств, пришлось бы отказаться Гильберт отказывался принять такое «увечье» математике.

Ему казалось, что он видел путь, на котором он смог бы восстановить элементарную математическую объективность, к которой стремился Брауер, не теряя при этом большую часть самой математики. Это была, по существу, «теория доказательства» . Гильберт предложил превратить математику в формализированную систему, объекты которой — математические теоремы и их доказательства — выражаются на языке символической логики в виде предложений, имеющих только символическую а не смысловую структуру. Эти объекты должны быть выбраны так, чтобы адекватно представлять данную математическую теорию, т. е. охватывать совокупность всех ее теорем.

Непротиворечивость этой формальной системы — т. е. математики — будет доказываться с помощью методов, которые Гильберт назвал финитными. Под «финитностью» понималось то, что «рассматриваемые рассуждения, утверждения или определения должны находиться в рамках непосредственного общения с объектом, отличаться явной практичностью используемых методов и, в соответствии с этим, их можно было бы эффективно контролировать» .

Таким образом можно было бы преодолеть кризис оснований математики и избавиться от него раз и навсегда. К сожалению, планам Гильберта не суждено было сбыться. В 1930 году Курт Гедель, 25-летний специалист по математической логики, опубликовал статью, в которой был сделан вывод, нанесший смертельный удар по планам Гильберта. В своей статье Геделю удалось доказать — со всей строгостью, на которую способна математика, — неполноту формализованной теории чисел. Он также доказал теорему, из которой следует, что не существует финитного доказательства непротиворечивости формальной системы, достаточно полной, чтобы формализовать все финитные рассуждения.

Тем не менее, подход Гильберта значительно обогатил и поднял на совершенно иной уровень всю математическую логику.

Давид Гильберт умер 14 февраля 1943 года в возрасте 81 года. С его смертью математика потеряла одного из своих великих мастеров. Работы Гильберта немало послужили той счастливой гармонии, в которой развивается математика по сей день.