Понятие о центре тяжести

Понятие о центре тяжести было впервые изучено примерно 2200 лет назад греческим геометром Архимедом, величайшим математиком древности. С тех пор это понятие стало одним из важнейших в механике, а также позволило сравнительно просто решать некоторые геометрические задачи. Именно приложение к геометрии мы и будем рассматривать.

Для этого нужно ввести некоторые определения и понятия. Под материальной точкой понимают точку, снабженную массой. Для наглядности можно себе физически представить материальную точку в виде маленького тяжелого шарика, размерами которого можно пренебречь.

В связи с этим будем часто указывать только числовое значение той или иной физической величины, но не будем отмечать ее наименование, считая, что оно само собой подразумевается.

Например, выражение: «В D ABC сторона BC равна a, а в вершине A мы помещаем массу a Если в точке A помещена масса m, то образующуюся материальную точку будем обозначать так: . Иногда, когда это не может вызвать недоразумений, мы будем ее обозначать одной буквой A. Массу m иногда называют «нагрузкой точки A » . Центром тяжести двух материальных точек и называется такая третья точка C, которая лежит на отрезке AB и удовлетворяет «правилу рычага» : произведение ее расстояния CA от точки А на массу а равно произведению ее расстоянию СВ от точки В на массу b ; таким образом, . Это равенство можно записать и так: , то есть расстояние от центра тяжести двух материальных точек до этих точек обратно пропорциональны массам, помещенным в этих точках. Центр тяжести будет ближе к точке с большей массой. Из определения следует: если прямая проходит через центр тяжести двух материальных точек и через одну из них, то она пройдет и через другую.

Центр тяжести двух материальных точек имеет весьма простой механический смысл. Представим себе жесткий «невесомый» стержень АВ, в концах которого помещены массы а и b. «Невесомость» стержня практически означает, что его масса по сравнению с массами a и b настолько незначительна, что ею можно пренебречь. Центр тяжести С материальных точек и — это такая точка, в которой надо подпереть стержень AB, чтобы он был в равновесии. Для дальнейшего полезно также ввести понятие «объединение» или равнодействующей двух материальных точек.

Под этим мы будем понимать материальную точку, которая получится, если в центре тяжести двух материальных точек поместить массы обеих точек. Пример.

Пусть в концах невесомого тонкого стержня AB, длина которого равна 20 ед. Помещены такие массы: в A — 6 ед., в B — 2 ед. Центром тяжести материальных точек и будет точка C, лежащая на стержне AB, определяемая условием: 6CA=2CB, или CB=3CA.

Поэтому АВ=CB+CA=4AC. Отсюда . Объединение материальных точек и будет материальная точка (С, . Центр тяжести трех материальных точек находится следующим образом: находят объединение двух из этих материальных точек и затем ищут центр тяжести образовавшейся таким образом четвертой материальной точки и третей из данных материальных точек. Вообще, центр тяжести n материальных точек при n>2 находится так: надо сначала найти центр тяжести n-1 материальных точек, поместить в этой точке массы всех n-1 точек, затем найти центр тяжести этой вновь образовавшейся материальной точки с n — й материальной точкой.

Если поместить в центре тяжести несколько материальных точек массы всех этих точек, то образующуюся таким образом новую материальную точку назовем объединением данных материальных точек. Для решения задач важны следующие простейшие свойства центров тяжести.