Застосування похідної при розв’язуванні економічних задач

З досвіду роботи вчителя економіки і математики КЗНЗ гімназія №15 м. Нікополя Табакіної Галини Вікторівни

Деяка частина задач з економіки дуже швидко і просто розв’язується з використанням математичного апарату поняття похідної і учні 11-х класів, які вже вивчили похідну та тему граничні витрати, граничний дохід, поведінка фірми в умовах різного типу конкуренції, щоб визначати обсяг виробництва, за якого фірма максимізує прибутки і величину цього прибутку.

Розглянемо використання похідної на прикладі розв’язання різних задач.

Задача 1.Фірма повинна повністю монополізувати виробництво товару «β». Економічне становище характеризується такими показниками

Загальний дохід TR=1208 Q -12Q2, граничні витрати MC=120+10Q, де Q — обсяг випуску товару фірмою. Розрахуйте ринкову ціну товару «β» і обсяг продажу.

Розв’язання.

Оскільки монополія максимізує прибутки за умов, що MR=MC, то знаходимо граничний дохід MR, як похідну від TR:

MR= ‘= ‘=1208-24Q

За умовою задачі МС=120+10Q

1208-24Q=120+10Q

34 Q=1208-120

34 Q=1080

Q=32 одиниці

Знайдемо загальні витрати

TR=1208 Q -12Q2

Р= TR/ Q=1208Q/ Q-12Q2/ Q=1208-12Q

Р=1208-12×32=1208-384=824 грн.

Відповідь: Отже, ціна одиниці товару Р=824 грн., кількість товару Q=32 одиниці.

Задача 2. Функція загальних витрат фірми монополіста має вигляд

ТС=30+20Q. Функція попиту на продукцію монополіста на кожному з двох ринків:

QД1=25-0.5Р1; QД2=10-0.1Р2

Визначити обсяги продажів і ціни на кожному з двох ринків, маючи на увазі, що фірма монополіст прагне досягти максимального прибутку. Розрахувати цей прибуток і пояснити тактику монополіста.

Розв’язання

Монополіст продає ідентичну продукцію на різних ринках за різними цінами, сегментує ринок покупців і здійснює цінову дискримінацію.

Монополіст не може призначати таку високу ціну, яку забажає, поки його метою є максимізація прибутку. Він має визначити особливості ринкового попиту та свої витрати. Знаючи попит і витрати, він приймає економічне рішення.

Монопольним надприбутком називають різницю між прибутком монополіста й прибутком конкурентної фірми в довгостроковому періоді, якщо раптом ринок монопольний перетворився на ринок досконалої конкуренції. Максимізація прибутку досягається коли MR=MC.

Умовою, що забезпечує максимізацію прибутку за умов задачі 2, є рівність грошової виручки на кожному з ринків граничним витратам

MR1 = MR2 = MC=∑ Q1 + Q2

Знаходимо функцію загальної виручки на кожному ринку:

TR1=P1×Q1 = Q1=40 Q1-2 Q12

TR2= Q2=80 Q2-10Q22

P1= × = 40-2 Q1

P2=10 Q2+80=80-10Q2

2) Визначимо функції граничної виручки для кожного ринку:

MR1 = ‘=40-4Q1

MR2 = ‘=80-20Q2

3) Знаходимо величину граничних витрат:

MC= ‘ = ‘=20

4) Визначимо обсяг продажу на кожному ринку:

40-4Q1=20 Q1=5

80-20Q2=20 Q2=3

5) Знайдемо ціну на кожному монопольному ринку:

P1=40-2×5=30

P2=80-10×3=50

6) TPr =TR-TC= -TC= P1Q1+ P2Q2- = P1Q1+ P2Q2-30-20 =30×5+50×3-20×8=150+150-30-160=110

TPr =110

Задача 3. Функція попиту на продукцію монополіста має вигляд QД=100/Р3+1, а функція загальних витрат ТС=2Q. Визначте оптимальний обсяг випуску й ціну монополіста.

Розв’язання.

Графік попиту Q=10/Р3=10Р-3 характеризується еластичністю Ер = -3. Оптимальний обсяг випуску продукції монополії знаходимо з формули MR=MC

MR= Р , граничні витрати

МС= ‘= ‘=2, отже граничні витрати постійні і дорівнюють 2

Р =2

Р=2/2/3=3

Підставимо значення Р до функції попиту

Q=112/P3+1=112/33+1=112/27+1=112/28=4штуки.

Відповідь: максимальний обсяг випуску монголіста Q=4 штуки.

Задача. На ринку досконалої конкуренції діють фірми, які мають однакові загальні витрати ТС=0,1Q3-4 Q2+ ХQ

Попит на продукцію галузі заданий рівнянням QД=680-5Р. Відомо, що в галузі залишається 24 фірми, Визначити параметр х.

Розв’язання

У довгостроковому періоді перспектива ціни загальні витрати установлюються на рівні мінімуму довгострокових середніх загальних витрат АТС:

АТС=TC/Q=0.1Q3-4Q2+x)Q/Q=0.1Q2-4Q+x

АТС мінімальні, коли АТС’=0

АТС’=0,1×2Q-4 0,1×2Q-4=0

0,2Q=4 Q=20

Кожна фірма випускає 20 одиниць продукції, а фірм N1=24

Q=580-5Р, Q=20×24=480, 580-5Р=480, 5Р=200, Р=40

При максимізації прибутку Р=МС= ‘=3×0,1Q2-8Q+х

0,3Q2-8Q+х=40 при Q=20

0,3×202-8×20+х=40, 400×0,3-160+х=40

120-160+х=40, х=80.

Отже, параметр х=80.

Задача. Пасажир економ-класу і бізнес-класу летять рейсом «Київ-Дортмунд» авіакомпанією WIZZ-air, з’ясували, що перший заплатив за квиток майже вдвічі менше, ніж другий. Визначте:

1) Обсяги пасажирських перевезень авіакомпанії , якщо попит на економ клас описується рівнянням Q1Д=10-2Р1, а попит бізнесменів Q2Д=30-2=3Р2, сукупні витрати авіакомпанії ТС=20+2Q.

2) Величину сукупного прибутку авіакомпанії

3) Якими були б обсяги перевезень, якби вона встановлювала одну ціну за квитки.

Розв’язання

Обсяг перевезень Q1=10-2P1 2P1=10- Q1

P1=5- Q1/2

TR1=P1×Q1=5Q1-Q12/2

MR1= ‘=5-Q1 MC= ‘= ‘=2

MR1= MC 5-Q1=2 Q1=3 P1=5-3/2=3.5

Це для економ класу P1=350грн

Q1=3 тис. осіб

Для бізнес класу Q2=30-3Р2; Р2=10- Q/3

TR2=P2×Q2=10 Q2- Q22/3

MR2 = ‘=10-2/3 Q22 MR2=MC

10-2/3 Q2=2 Q2=12 P2=10-4=6

Обсяг перевезень 12 тис. осіб за місяць, ціна квитка 600 гривень.

Сукупний обсяг перевезень Q= Q1+ Q2=15 тис. осіб

Загальні витрати ТС=20+2×15000=30020

2) Економічний прибуток РrЕ= Р1Q1+ Р2Q2-TC=350×3000+600×12000-30020=1050000+7200000-30020=8219980=8,220 тис. грн. за місяць

3) За відсутності цінової дискримінації

Q=Q1+Q2=15 тис. Р1=Р2=Р=600 грн.

Q= 10-2Р+30-3Р=40-5Р Р=40-Q/5=8-Q/5

TR= × Q= = =5

TR=8Q-Q2/15 MR = =8-2Q/5

MR=MC 8-2Q/5=2 2Q/5=6 2Q=30 Q=15

P=40-15/3=5 P=500 грн.

Pre=15000×500-30020=7500000-30020=7470000 грн. = 7470 тис. у. е.

За монополістичної конкуренції крива попиту на товар фірм прямує вниз. Отже, ці фірми користуються владою монополістів. Проте, це не означає, що монополістично конкурентні фірми завжди отримують високі прибутки.

Монополістична конкуренція також подібна до абсолютної конкуренції. Існує вільний вхід, тобто можливість одержати прибутки нові фірми з їх конкурентними товарами, а це приведе до падіння прибутків до нуля.

Крива попиту напрямлена донизу. Q — точка перетину кривих грошової виручки та граничних витрат MR=MC.

Оскільки ціна Р перевищує середні витрати, фірма має прибуток, величина якого показана на графіку прямокутником.

У довгостроковому періоді цей прибуток може призвести до входу на ринок інших фірм. З появою нових товарів фірма втратить частину своїх прибутків, обсяг збуту зменшуватись, крива попиту зсунеться вниз. Оскільки ціна дорівнює граничним витратам, крива попиту буде дотичною до кривої середніх витрат, ціна дорівнює середнім витратам, прибуток нульовий.

Хочу сказати з власного досвіду, що учнями ця тема сприймається важко, тому розв’язання кількох задач з повним поясненням, дає можливість зрозуміти від чого залежить прибуток, як він змінюється.

Важливо пояснити, що кожна фірма намагається реалізувати весь свій потенціал, враховуючи дії своїх конкурентів, маючи на увазі, що і конкуренти діють таким чином.

Я викладаю в профільному класі економічному, тому час для відпрацювання цих понять з допомогою математичного апарат є.

Бажаю Вам, шановні колеги, щоб цей матеріал став Вам у нагоді при підготовці дітей до олімпіад, до уроків.

Вчитель-методист КНЗН

«Гімназія №15№ Табакіна Г. В.

При підготовці до уроків використовується збірник «Олімпіадні завдання з економіки». О. В. Олійник, І. Є. Тимченко, видавництво «Ранок», Веста 2007 рік.