Интерполяция многочленами
Если задана функция y , то это означает, что любому допустимому значению х сопоставлено значение у. Но нередко оказывается, что нахождение этого значения очень трудоемко. Например, у может быть определено как решение сложной задачи, в которой х играет роль параметра или у измеряется в дорогостоящем эксперименте. При этом можно вычислить небольшую таблицу значений функции, но прямое нахождение функции при большом числе значений аргумента будет практически невозможно.
Функция у может участвовать в каких-либо физико-технических или чисто математических расчетах, где ее приходится многократно вычислять. В этом случае выгодно заменить функцию у приближенной формулой, то есть подобрать некоторую функцию j , которая близка в некотором смысле к у и просто вычисляется. Затем при всех значениях аргумента полагают у » j . Большая часть классического численного анализа основывается на приближении многочленами, так как с ними легко работать.
Однако для многих целей используются и другие классы функций.
Выбрав узловые точки и класс приближающих функций, мы должны еще выбрать одну определенную функцию из этого класса посредством некоторого критерия — некоторой меры приближения или «согласия». Прежде чем начать вычисления, мы должны решить также, какую точность мы хотим иметь в ответе и какой критерий мы изберем для измерения этой точности. Все изложенное можно сформулировать в виде четырех вопросов: 1. Какие узлы мы будем использовать? 2. Какой класс приближающих функций мы будем использовать?
3. Какой критерий согласия мы применим? 4. Какую точность мы хотим? Существуют 3 класса или группы функций, широко применяемых в численном анализе.
Первая группа включает в себя линейные комбинации функций 1, х, х 2 , … , х n, что совпадает с классом всех многочленов степени n .
Второй класс образуют функции cos a
Интерполяция многочленами