Задачи на совместную работу

Одним из основных видов задач в математике являются задачи на совместную работу

1) Двое рабочих, работая вместе, выполняют некоторую работу за 6 часов. Один из них, работая самостоятельно, может выполнить эту работу за 15 часов. За сколько часов может выполнить эту работу другой рабочий?

В отличие от всех других типов задач, задачи на совместную работу начинаются с того, что всю работу принимаем за единицу. То есть объем работы в этом случае равен единице. Чтобы найти объем работы, надо производительность труда умножить на время работы. Соответственно, чтобы найти производительность труда , надо объем работы разделить на время работы:

Решение задач на совместную работу упрощается, если условие оформить в виде таблицы.

Перейдем с решению нашей задачи.

Решение.

Примем всю работу за 1.

Чтобы найти производительность труда второго рабочего, из производительности труда совместной работы вычтем производительность труда первого рабочего:

Такую часть работы в 1 час выполняет второй рабочий.

Зная производительность труда второго рабочего и объем работы, можем найти время, за которое он может выполнить работу самостоятельно. Чтобы найти время работы, надо объем работы разделить на производительность труда:

Значит, второй рабочий, работая отдельно, может выполнить работу за 10 часов.

Ответ: за 10 часов.

2) Через одну трубу бассейн наполняется за 7 часов, а через другую опустошается за 8 часов. За какое время бассейн будет наполнен, если открыть обе трубы?

Решение.

Примем весь бассейн за 1.

Сначала найдем производительность труда совместной работы обеих труб за один час. Поскольку одна труба бассейн наполняет, а другая — опустошает, производительность совместной работы равна разности производительности первой и второй труб:

Теперь найдем время, за которое бассейн будет наполнен при открытии обеих труб одновременно. Чтобы найти время работы, надо объем работы разделить на производительность труда:

Таким образом, за 56 часов совместной работы обеих труб бассейн будет наполнен.

Ответ: за 56 часов.

Задания для самостоятельной работы

Две бригады, работая вместе, должны отремонтировать заданный участок шоссейной дороги за 18 дней. В действительности же получилось так, что сначала работала только одна бригада, а заканчивала ремонт участка дороги вторая, производительность которой более высокая, чем у первой бригады. В результате ремонт заданного участка дороги продолжался 40 дней, причем первая бригада в свое рабочее время выполнила 2/3 всей работы.

За сколько дней был бы отремонтирован участок дороги каждой бригадой отдельно?

Решение. 1. Пусть вся работа может быть выполнена первой бригадой за х дней, а второй — за y дней. 2. Принимая работу за 1, ученики столкнутся со смысловой некорректностью, которая заключается в следующем: производительность труда первой бригады будет равна 1/х, а второй — 1/y. Возникает вопрос: в каких единицах измерить производительность? В дорогах на день?

Очевидно нарушение физического смысла задачи. 3. Поэтому целесообразно обозначить всю работу некоторой величиной А, измеряемой в километрах. Тогда производительность труда первой бригады равна А/х км/день, второй бригады — A/y км/день.

4. Составляем уравнение А/х. 18 + А/y. 18 = А. В дальнейшем введенная величина А, как видно, сокращается, но она несет при решении задачи важную смысловую нагрузку.

Окончательное решение задачи достаточно несложное, и приводить его нет необходимости.

Две бригады землекопов вырыли по одинаковому котловану. Вторая бригада работала на полчаса больше первой. Если бы в первой бригаде было на 5 человек больше, то она могла бы закончить работу на 2 часа раньше.

Определить число землекопов в каждой бригаде, если производительность у всех одинакова.

В указанном пособии предложено следующее решение задачи: неизвестные: х — количество землекопов первой бригады, y — второй бригады, t — время работы первой бригады. В этой задаче за 1 принимается производительность труда каждого землекопа.

Из условия задачи следует: xt = y , xt = .

Выражая t через x и y из одного уравнения и подставляя в другое, получим после упрощений: 4×2 — 4xy + 20x — 25y = 0.

При этом x и y — натуральные числа. Выразим y через x: y = 4×2 + 20x/4x + 25 = x — 5/4 + 125/4 .

Умножив последнее равенство на 4, получим: 4y = 4x — 5+ 125/ .

Из того, что x и y — натуральные числа, следует, что 4x + 25 является делителем 125. Значит, 4x+25=125. Отсюда следует, что x=25, y=24.